Las matemáticas: retos y soluciones: Retos del siglo XXI

El reto es encontrar una teoría matemática que desvele los secretos que tienen escondidos las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ondas aparecen al paso de un bote que se desliza en un lago y en las corrientes de aire turbulento que se originan al paso de un avión. Los matemáticos y los físicos creen que para explicar por qué se generan estas ondas es necesario entender las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. A pesar de que estas ecuaciones se conocen desde el siglo XIX, nuestro conocimiento sobre sus soluciones es pequeño.

Cualquier progreso que se haga para dar solidez matemática a la teoría de Yang-Mills requerirá el descubrimiento de nuevas ideas fundamentales tanto para la Física como para la Matemática.

Las leyes de la mecánica cuántica rigen el mundo de las partículas elementales, de la misma manera que las leyes de Newton de la mecánica clásica rigen el mundo macroscópico. Hace casi un siglo que Yang y Mills presentaron un nuevo marco para describir las partículas elementales usando estructuras que sólo aparecen en geometría. La teoría cuántica de Yang y Mills es actualmente la base de la teoría de partículas elementales, y sus predicciones se han comprobado de manera experimental en laboratorios, pero sus fundamentos matemáticos permanecen oscuros. El éxito de la teoría de Yang-Mills para describir las interacciones fuertes entre partículas elementales depende de una sutil propiedad de la mecánica cuántica llamada el salto de masa: las partículas cuánticas tienen masa positiva, aunque las ondas clásicas viajan a la velocidad de la luz. Esta propiedad ha sido descubierta por los físicos de manera experimental y confirmada mediante simulaciones en ordenador, pero aun no se comprende desde un punto de vista teórico.

Una demostración de la hipótesis de Rieman iluminará muchos de los misterios que aún rodean a los números primos

Grigori Perelman anunció en el año 2002 que había demostrado la conjetura de Poincaré. Por este trabajo le fue concedida la Medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid en agosto de 2006. Perelman rechazó la medalla así como el premio del Clay Mathematics Institute.

Si estiramos una goma elástica alrededor de la superficie de una manzana podemos reducirla a un punto moviéndola lentamente, sin romperla y sin que deje de tocar la superficie. Por otro lado, si la misma goma elástica se ha colocado alrededor de la superficie de un donuts de manera adecuada, no hay manera de reducirla a un punto sin romper o bien la goma o el donuts. Decimos que la superficie de la manzana es simplemente conexa, mientras que la superficie del donuts no lo es. Hace más de cien años que H. Poincaré sabía que una esfera de dos dimensiones se caracteriza esencialmente por la propiedad de que es simplemente conexa.

Poincaré hizo la misma pregunta para esferas de tres dimensiones, el conjunto de puntos en un espacio de cuatro dimensiones cuya distancia al origen es una unidad. Esta pregunta ha resultado ser muy difícil y los matemáticos han estado luchando con ella desde entonces.

Enlaces a reportajes de El país (publicados el 03/10/2010):
   El genio, el hombre, el enigma
   Grisha por los puentes de Königsberg

Stephen Cook y Leonid Levin formularon el problema independientemente en 1971: ver si existen soluciones P (es decir, fáciles de encontrar) de problemas que parecen ser NP (es decir, que se pueden escribir todas las soluciones pero se tardaría muchísimo tiempo).

Si ζ(1) = 0, existen una cantidad infinita de puntos racionales (soluciones) y, recíprocamente, si ζ(1) no es igual a 0, entonces sólo hay una cantidad finita de tales puntos.

Desde la Antigua Grecia, el problema de describir las soluciones enteras de ecuaciones de la forma  x2 + y2 = z2 ha fascinado a los matemáticos. Una solución en números enteros de esta ecuación es x=3, y=4, z=5. Euclides describió todas las soluciones enteras de esta ecuación. Para ecuaciones más complicadas este problema es mucho más difícil. En 1970, Yu. V. Matiyasevich demostró que el problema décimo de Hilbert es irresoluble, es decir, no hay ningún método general para determinar las soluciones enteras de tales ecuaciones. Pero algo puede decirse en casos especiales. Cuando las soluciones son los puntos de una variedad abeliana, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma que el tamaño del grupo de los puntos racionales está relacionado con el comportamiento de la función zeta ζ(s) cerca del punto s=1.

La conjetura de Hodge dice que para ciertos tipos de espacios, llamados variedades proyectivas algebraicas, algunos ladrillos que las componen, los llamados ciclos de Hodge, son de hecho combinaciones de ladrillos geométricos llamados ciclos algebraicos.